Оценивание случайных параметров в партии продукции

При испытаниях образцов партии продукции оцениваемые парамет­ры, как правило, не остаются постоянными от образца к образцу, а меняются случайным образом вследствие неизбежной неидентичнос — ти отдельных образцов. Модель измерений в этом случае имеет вид:

Zjj = М + Xj +Ьу,

где М— среднее значение параметра; т,- — N(0, а) — нормально рас­пределенная величина, характеризующая разброс параметра относи­тельно среднего значения от образца к образцу; 5л — N (0, а2) — нор­мально распределенная случайная погрешность измерения.

Случайный разброс характеристик образцов и случайная погреш­ность измерений могут быть разделены путем проведения специаль­ного однофакторного эксперимента. Однофакторный эксперимент
заключается в проведении п дублирующих измерений на каждом из а образцов. Данные однофакторного эксперимента сводят в табл. 10.10 и анализируют методом однофакторного дисперсионного анализа.

Таблица 10.10 Данные однофакторного эксперимента Номер образца/Номер измерения і j і *11 ZV Zn • / Zii zy Z>in А Zal Zaj *an

Для каждого образца находятся среднеарифметические оценки:

— 1 V с2 1 V / -2

Zi = — х si = —г L {ц — -*) •

ИуГі

Находятся также оценки по всей совокупности измерений:

Полученные таким образом частные и общие средние имеют со­ответственно следующие математические ожидания и дисперсии:

M[zi] = М; D[z/] = т2 + <зЦп;

= = Z)[f] = G^/a + cso/an.

Таким образом, частные средние являются несмещенными оцен­ками параметров, однако они несостоятельны, так как при п ->«

D[zi]*0. Общее среднее является несмещенной состоятельной оцен­кой, ПОСКОЛЬКУ при Д -> оо, п —> оо /)[?] = 0.

Для получения оценки дисперсии случайного разброса сформи­руем статистику

математическое ожидание которой равно пщ +щ.

Если случайная величина /0 = Sx /Sq, имеющая распределение Фишера F с (а-1), а(л-1) степенями свободы, не превышает соот­ветствующего квантиля F0 < Fx_a [а -1, а(п -1)], то случайный раз­брос параметра меньше погрешности измерений и им можно пренеб­речь.

Плотность /’-распределения Фишера определяется двумя степе­нями свободы V, и v2. Следует отметить два крайних случая:

• Vj = 1 — /-распределение превращается в распределение квад­рата стыодентовской случайной величины t с v2 степенями свободы;

• v2 —> — /-распределение стремится к распределению случай-

л

ной величины X (V1 )/vl •

В статистических таблицах приводятся только квантили /-рас­пределения /1-а (vj > v2) при различных v,, v2, а. Квантили /а по­лучаются из табличных значений по соотношению Fa, v2) =

= /i-a(vl’ v2 )•

При проверке нулевой гипотезы а2 = О используется односторон­ний критерий, так как всегда выполняется условие S > Sq. Если

дисперсия погрешности измерений а2 известна, то гипотеза = О

проверяется с использованием критерия х2, являющегося частным случаем /-критерия при числе степеней свободы знаменателя, рав­ном бесконечности:

Хо = (а —1)*$12/<*о < X 1-а(* " О-

Если нулевая гипотеза отвергается, т. е. разброс параметра зна­чителен, возникает необходимость оценки дисперсии этого разброса.

Несмещенной оценкой дисперсии случайного разброса парамет­ра является оценка a2 = Sx — Sq /п с приближенным (у -2а)%-ным доверительным интервалом:

АА2/(пА +1) < о < ВВХ /(пВ +1),

st/sl Si/sj

^-о/2Іл — 1»в(я — 1)] ’ Fa/2[a-,a(n-)

д Л?(о-1) *1/2 (a~l)

Оценка Ь\/(ст^)2 имеет приближенное х2-распределение с чис­лом степеней свободы

(в?>

S?/n | Sp/n

В случае отсутствия дублирующих измерений характеристики слу­чайного разброса и случайной погрешности измерений разделить не удается.

Эту схему измерений можно применять при наличии высокого класса точности измерительной аппаратуры, когда погрешность из­мерений существенно меньше разброса исследуемого параметра.